Narodil se v Bratislavě a v roce 1961 promoval na Fakultě všeobecného lékařství Univerzity Karlovy. V 60. letech studoval hematologii také v Paříži, od 70. let se systematicky věnuje protinádorové chemoterapii.
Jako lékař začínal na II. interní klinice Fakulty všeobecného lékařství UK v Praze. Později se stal přednostou Onkologické kliniky tamtéž. V letech 1994 až 2006 působil jako prorektor pro vědu na Univerzitě Karlově (UK). Od března 2002 do listopadu 2007 vedl Ústav hematologie a krevní transfuze, odvolán byl kvůli nesouhlasu s jeho sloučením s Všeobecnou fakultní nemocnicí. Působí jako profesor na 1. Lékařské fakultě UK.
Kromě lékařské praxe a vědecké odborné činnosti se Klener angažoval od 90. let také v politice. Jako kandidát Občanského fóra byl od prosince 1989 do června 1990 ministrem zdravotnictví. Na dva roky také červnu 1990 zasedl do lavic České národní rady. Jako poslanec se podílel na tvorbě nového zákona o vědě a o Akademii věd ČR. V letech 1992 až 1995 byl členem Občanské demokratické aliance.
V roce 2006 kandidoval do Senátu za Stranu zelených v Praze 12, o dva roky později za KDU-ČSL v Praze 1, v roce 2009 do Evropského parlamentu jako nezávislý za KDU-ČSL a v roce 2010 do obecního zastupitelstva Prahy 1. V roce 2003 dostal od tehdejšího prezidenta Václava Klause Medaili Za zásluhy druhého stupně. V roce 2012 obdržel cenu Česká hlava za mimořádné vědecké výsledky.